高校の勉強では「α３乗＋β３乗」の因数分解までが範囲ですが、質問
がありましたので、調べてみました。はじめに日本評論社の「数学１０
０の問題」p.106フェルマーの問題のところで、でてきたクンマーの因数
分解です。
　　　\(ｘ^{p}\)+\(y^{p}\)=(x+y)(x+ζy)(x+\(ζ^{2}\)y)・・・(x+\(ζ^{p-1}\)y)
　　　\(ζ^{p}\)=1,ζ≠1
これが目にとまりましたので、ζを考えてみました。高校の数学Ｂの複
素数のところにでてくるド・モアブルの公式を使います。
　\(ζ^{p}\)=cos(pθ)+i*sin(pθ)=1　より、θ=\(\frac{2π}{p}\)　となるから、
　　　　∴ζ=cos\(\frac{2π}{p}\)+i*sin\(\frac{2π}{p}\)
これでうまくできると思ったのですが、ダメでした。p=3,5,7…の奇数の
時はＯＫですが、p=2,4,6…の偶数の時はペケでした。どうやら、「α４
乗＋β４乗」は因数分解できないようです。

あきらめかけたときに、学校の図書館で見た本の中に「対称式」と言うの
がありました。ｘ＋ｙ＝\(σ_1\)、ｘｙ＝\(σ_2\)とおいて、
\(x^{p}\)＋\(y^{p}\)を変形し、\(σ_1\)または\(σ_2\)
を使って因数分解する方法です。例えば、ｐ＝３のときをやってみましょう。
　　　　\(x^{3}\)＋\(y^{3}\)=\((x+y)^{3}\)-3xy(x+y)=\((σ_1)^{3}\)-3\(σ_2\)\(σ_1\)=\(σ_1\)\(((σ_1)^{2}\)-3\(σ_2\))
となるので、因数分解できることがわかります。ｐ＝５，７……の奇数の
時はＯＫでしたが、残念ながらここでも、ｐ＝２，４，６……の偶数の時
は因数分解できませんでした。
どうやら本当に、「α４乗＋β４乗」は因数分解できないようです。

\(a^{4}\)+\(b^{4}\) はル－トが入ればできます。
a⁴+b⁴=a⁴+2*a²*b²+b⁴-2*a²*b²
=(a²+b²)²-(\(\sqrt{2}\)*a*b)²
=(a²+b²＋\(\sqrt{2}\)*a*b)(a²+b²－\(\sqrt{2}\)*a*b)
と言うことです．
また\(a^{6}\)+\(b^{6}\)
は因数分解可能です。
\(a^{6}\)+\(b^{6}\)=(\(a^{2}\)\()^{3}\)+(\(a^{2}\)\()^{3}\)
=(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))(\(a^{4}\)-\(a^{2}\)*\(b^{2}\)+\(b^{4}\))
という具合です．
暑い中頑張って下さい．
＿＿＿＿＿
name=kyukusu

If square root of value is permitted as in the first problem, then the second
problem can be further factored as follows: (SQRT(a) means square root of a.)
a⁶ + b⁶ = (a² + b²) * (a⁴ - (a*b)² + b⁴)
= (a² + b²) * (a⁴ + 2 * (a * b)² + b⁴ - 3 *(a *b)²)
= (a² + b²) * ((a² + b²)² - (\(\sqrt{3}\) * a * b)²)
=(a² +b² )*(a² +b² +\(\sqrt{3}\) *a*b)*(a² +b² -\(\sqrt{3}\) *a*b)

（武田談：お手紙で頂きましたので、要約して掲載します。
なお、野崎先生は大妻女子大の教授で、私が所属する数教協
の委員長です。恐縮しています。）

武田さんが解答に使った日本評論社の「数学１００の問題」
p.106フェルマーの問題のところででてきたクンマーの因数分
解は誤植か、著者のうっかりミスだと思います。

　　　\(ｘ^{p}\)+\(y^{p}\)=(x+y)(x+ζy)(x+\(ζ^{2}\)y)・・・(x+\(ζ^{p-1}\)y)
　　　\(ζ^{p}\)=1,ζ≠1

この式では、武田さんが言う「p=3,5,7…の奇数の時はＯＫで
すが、p=2,4,6…の偶数の時はペケでした。」となってしまい
ます。

クンマーの因数分解は、
ｘⁿ－ｙⁿ＝(x-y)(x-ζy)(x-ζ²y)…(x-ζ^n-1ｙ)
ただし、ζⁿ＝１より、ζ＝cos(\(\frac{2π}{n}\))＋ｉsin(\(\frac{2π}{n}\))
ηⁿ＝－１とすると、
ｘⁿ＋ｙⁿ＝ｘⁿ－（ηｙ）ⁿ
＝(x-ηy)(x-ζηy)(x-ζ²ηy)…(x-ζ^n-1ηy)

ｎが奇数の時は、η＝－１となる。したがって、うっかりミス
の式となるので、武田さんの言う「p=3,5,7…の奇数の時はＯＫ」
となります。
ｎが偶数の時は、ηⁿ＝－１より、
η＝cos(\(\frac{π}{n}\))＋ｉsin(\(\frac{π}{n}\))なので、うっかりミスの式には
ならないので、正しいクンマーの因数分解は
ζⁿ＝１で、ηⁿ＝－１とすると、
ｘⁿ＋ｙⁿ＝ｘⁿ－（ηｙ）ⁿ
＝(x-ηy)(x-ζηy)(x-ζ²ηy)…(x-ζ^n-1ηy)
となるのです。

さて、質問はｎ＝４の場合ですから
ζ⁴＝１、η⁴＝－１
ζ＝cos(\(\frac{2π}{4}\))＋ｉsin(\(\frac{2π}{4}\))＝ｉ
η＝cos(\(\frac{π}{4}\))＋ｉsin(\(\frac{π}{4}\))＝\(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\)
ｘ⁴＋ｙ⁴＝(x-ηy)(x-ζηy)(x-ζ²ηy)(x-ζ³ηy)
＝(ｘ－\(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\)y)(x＋\(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\)ｙ)(ｘ＋\(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\)ｙ)(ｘ-\(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\)ｙ)

したがって、偶数の場合も因数分解できます。