\((n+1)^{4}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\) より、

\((n+1)^{4}-n^{4}=4n^{3}+6n^{2}+4n+1\) として、ｎに１，２，３，………，ｎを代入して

すべて加えると、

\((n+1)^{4}-1=4\sum k^{3}+6\sum k^{2}+4\sum k+\sum 1\)

\(4\sum k^{3}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1-1-6\{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\} -4\{ \frac{n(n+1)}{2}\} -n\)

\(=n^{4}+2n^{3}+n^{2}=n^{2}(n^{2}+2n+1)=\{ n(n+1)\} ^{2}\)

したがって、

\(\sum k^{3}=\left\{\)

同様にして、

\((n+1)^{5}=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1\) より、

\(\sum k^{4}=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)\)