次の式が成り立つことを証明せよ。
(1) Σ[n=0\(\vec{N}\)-1]sin(2kπn/N)sin(2lπn/N)=0
(2) Σ[n=0\(\vec{N}\)-1]cos(2kπn/N)cos(2lπn/N)=1
ただし、k≠l,0≦k,l≦N である。
どうかお願いします。
次の式が成り立つことを証明せよ。
(1) Σ[n=0\(\vec{N}\)-1]sin(2kπn/N)sin(2lπn/N)=0
(2) Σ[n=0\(\vec{N}\)-1]cos(2kπn/N)cos(2lπn/N)=1
ただし、k≠l,0≦k,l≦N である。
どうかお願いします。
本当にすいません。
質問１００７ですが、(2)のcosの時も０になります。
１になるのはＮまで和分したときでした。
御迷惑おかけしました。
sin(2kPin/N)sin(2lPin/N)={cos(2(k+l)Pin/N)-cos(2(k-l)Pin/N)}/(-2)
The sum of cos(2(k+l)Pin/N) for n=0 to n=N-1 is 0. And
the sum of cos(2(k-l)Pin/N) for n=0 to n=N-1 is 0.
Proof
exp(it)=cos(t)+isin(t)
z=exp(2Pi/N) then 1+z+\(z^{2}\)+...+z^(N-1)=(1-z^N)/(1-z)=0 (z^N=1)
w=exp(2Pi(k+l)n/N) The sum 1+w+...+w^N-1=0
Then the sum of cos(2Pi(k+l)n/N)+isin(2Pi(k+l)n/N) for n=0 to n=N-1 is
0. Then the sum of cos(2Pi(k+l)n/N) for n=0 to n=N-1 =0.And
the sum of sin(2Pi(k+l)n/N) for n=0 to n=N-1 =0.
(2) cos(2kPin/N)cos(2lPin/N)={cos(2Pi(k+l)n/N)+cos(2Pi(k-l)n/N)}/2
and so on.