y＝(x-b\()^{2}\)+a として、x の四次方程式 x＝(y-d\()^{2}\)+c が
(i) 異なる実数解を1つ以下持つならば、S＝0 。
(ii) 重解を除いて異なる2つの実数解を持つならば、
それを (\(x_{1}\), \(y_{1}\)), (\(x_{2}\), \(y_{2}\)) (\(x_{1}\)＜\(x_{2}\)) として、
S＝{(\(x_{2}\)-\(x_{1}\)\()^{3}\)+(\(y_{2}\)-\(y_{1}\)\()^{3}\)}/6 。
(iii) 異なる4つの実数解を持つならば、
それを (\(x_{1}\), \(y_{1}\)), (\(x_{2}\), \(y_{2}\)), (\(x_{3}\), \(y_{3}\)), (\(x_{4}\), \(y_{4}\))
(\(x_{1}\)＜\(x_{3}\)＜\(x_{4}\)＜\(x_{2}\)) として、
S＝{(\(x_{2}\)-\(x_{1}\)\()^{3}\)+(\(y_{2}\)-\(y_{1}\)\()^{3}\)-(\(x_{4}\)-\(x_{3}\)\()^{3}\)-(\(y_{4}\)-\(y_{3}\)\()^{3}\)}/6