(1) f(x) = \(x^{2}\) - ax + b, g(x) = \(x^{2}\) + bx + c と置く。
これらの最大公約数が x + 1 であることから, 因数定理により
f(-1) = a + b + 1 = 0,
g(-1) = -b + c + 1 = 0.
故に a = -b - 1, c = b - 1.
代入して
f(x) = \(x^{2}\) + (b + 1)x + b = (x +　1)(x + b),
g(x) = \(x^{2}\) + bx + b - 1 = (x + 1)(x + b - 1).

明らかに b ≠b - 1 (又は最小公倍数が三次式である) ことから
\(x^{3}\) - 8\(x^{2}\) + dx + 20 = (x + 1)(x + b)(x + b - 1).
ここで x = -1 と置くと
11 - d = 0. 故に d = 11.
左辺に代入して
\(x^{3}\) - 8\(x^{2}\) + 11x + 20
= (x + 1)(\(x^{2}\) - 9x + 20)
= (x + 1)(x - 5)(x - 4)
比較して b = -4.
従って a = 4 - 1 = 3, c = -5.

(2) f(x) = \(x^{2}\) + ax + b, g(x) = \(x^{3}\) + (a - b)x - b と置く。
これらの最大公約数が x - 2 であることから, 因数定理により
f(2) = 2a + b + 4 = 0,
g(2) = 2a - 3b + 8 = 0.
f(2) - g(2) = 4b - 4 = 0. 故に b = 1. 従って a = -\(\frac{5}{2}\).
代入して
f(x) = \(x^{2}\) - (\(\frac{5}{2}\))x + 1 = (\(\frac{1}{2}\))(2\(x^{2}\) - 5x + 2)
= (\(\frac{1}{2}\))(x - 2)(2x - 1),
g(x) = \(x^{3}\) -(\(\frac{7}{2}\))x - 1 = (\(\frac{1}{2}\))(2\(x^{3}\) - 7x - 2)
= (\(\frac{1}{2}\))(x - 2)(2\(x^{2}\) + 4x +1).
[ 2\(x^{2}\) - 4x + 1 = 0 と置いて判別式を採ると
D/4 = 4 - 2 = 2 は平方数でないからこれ以上因数分解できない]
従って最小公倍数は
(x - 2)(2x - 1)(2\(x^{2}\) + 4x + 1).

[(\(\frac{1}{2}\))(x - 2)(2x - 1)(2\(x^{2}\) + 4x + 1) でも良い。
習慣として多項式の最小公倍数は定数倍はどうでもいいことに
なってはいる。但しそういうことをろくろく知らない先生も
いるので, \(\frac{1}{2}\) をつけておいた方が無難かもしれない。]