t=\(\frac{1}{x}\) と置けば、(t-log(1+t))/\(t^{2}\) の t→0 における極限を求める。
マクローリンの定理より、t-\(t^{2}\)/2≦log(1+t)≦t-\(t^{2}\)/2+\(t^{3}\)/3 だから、
はさみうちの原理より、求める極限は \(\frac{1}{2}\) 。

|t|< 1 とすると
1/(1 + t) = 1 - t + \(t^{2}\) - \(t^{3}\) + …
だから
log(1 + t) = ∫_\(0^{t}\) dt/(1 + t) = t - \(t^{2}\)/2 + \(t^{3}\)/3 - \(t^{4}\)/4 + …
故に log(1 + \(\frac{1}{x}\)) = \(\frac{1}{x}\) - 1/(2\(x^{2}\)) + 1/(3\(x^{3}\)) + o(1/\(x^{3}\))
従って
x - \(x^{2}\) log(1 + \(\frac{1}{x}\)) = x - (x - \(\frac{1}{2}\) + 1/(3x) + o(\(\frac{1}{x}\)))
= \(\frac{1}{2}\) - 1/(3x) + o(\(\frac{1}{x}\)) → \(\frac{1}{2}\) as x→∞.