Ａ：三角形分割された閉曲面Ｘについて，
頂点の数，辺の数，面の数をそれぞれＶ，Ｅ，Ｆとする。
ｘ＝Ｖ－Ｅ＋Ｆと定義し，曲面Ｘのオイラー標数という。
このとき次の関係が成立することを示しなさい。
（１）３Ｆ＝３Ｅ
２
（２）Ｅ＝３（Ｖ－ｘ）
（３）Ｖ（Ｖ－１）≧２Ｅ
（４）Ｖ≧｛７＋\(\sqrt{\quad}\)（４９－２４ｘ）｝／２
Ｂ：球面を三角形分割したときの頂点の最少数を求め，
それを実現する球面の三角形分割を作りなさい。
です。宜しくお願いします。
（Ａ）
②Ｅ＝３（Ｖ－ｘ）の証明
オイラー標数
ｘ＝Ｖ－Ｅ＋Ｆ
を３倍して、
３ｘ＝３Ｖ－３Ｅ＋３Ｆ
＝３Ｖ－３Ｅ＋２Ｅ ←①より
＝３Ｖ－Ｅ
Ｅ＝３Ｖ－３ｘ
＝３（Ｖ－ｘ）
③Ｖ（Ｖ－１）≧２Ｅの証明
※解けず （~~；）
④ \(V\geq \frac{7+\sqrt{49-24x}}{2}\) の証明
③のＶ（Ｖ－１）≧２Ｅより、
\(V^{2}-V-2E\geq 0\)
\(V^{2}-V-2\cdot 3(V-x)\geq 0\) ←②より
\(V^{2}-V-6V+6x\geq 0\)
\(V^{2}-7V+6x\geq 0\)
４倍して、
\(4V^{2}-28V+24x\geq 0\)
\(4V^{2}-28V\geq -24x\)
\(4V^{2}-28V+49\geq -24x+49\)
\((2V-7)^{2}\geq 49-24x\)
\(2V-7\geq \sqrt{49-24x}\)
\(2V\geq 7+\sqrt{49-24x}\)
\(V\geq \frac{7+\sqrt{49-24x}}{2}\)
（Ｂ）
\(\sqrt{\quad}\)の中の（４９－２４ｘ）が正の数で、最小になるのは、
ｘ＝２のときだから、Ｖ≧４
したがって、頂点の最小数は４個
球面の三角形分割は次のようになります。
