三角比の問題の一部だったんですが。
円Ｋに内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＢＣ＝５、ＣＤ＝３、∠Ｃ＝120度
とする。……(略)……四角形ＡＢＣＤの面積が最大となるとき、
ＡＢ、ＡＣを求めよ。
という問題で、その問題の解説には。三角形ＢＣＤの面積は一定である。
ここで∠Ｃが120度なので∠ＢＡＤは60度。
よって、三角形ＡＢＤが正三角形のとき四角形ＡＢＣＤの面積が最大となる。
…とありました。
確かにいくつか調べてみるとどうやら正三角形のときが面積が最大なのですが、
なぜでしょう？根拠というかハッキリした形で知りたいです。
教えてください!!
かなり数学的ではなく、直感的解法ですが
ＢＤが一定値であるので、三角形ＡＢＤが最大になるのは高さが
最大の時である（底辺はＢＤ）
で、高さはＢＤと平行な線を引いた時の線分の間隔で
三角形が出来る為には、円と最低1点の交点を持たなければいけない。
そんな平行線を引いていけば、一番離れられるのは接する時。
接する時は正三角形になる（対称になるから）。
もう少し数学的に証明するのなら
ＢＤがｘ軸対称になるようにｘが負値を取るようにおく。
高さは（Ａのｘ）-（Ｂのｘ）であり、Ｂのｘの値は一定値なので
Ａのｘが最大で面積最大。
明らかにＡはｘ軸上にある。
条件より60°なので、正三角形になる。