解の公式に代入してβを求めると
β＝5-\(\sqrt{\quad}\)23
1/β＝（5+\(\sqrt{\quad}\)23）/2　（有理化）
ところで、\(\sqrt{\quad}\)23は4＋γである。　（0＜γ＜1）
よって1/β＝（9+γ）/2
2ｎ＜9+γ＜2ｎ+2を満たすｎを探せば良いので、ｎ＝4

大小比較の為に、\(\frac{3}{4}\)を引くと
1/β-4-\(\frac{3}{4}\)＝（-9+2\(\sqrt{\quad}\)23）/4
この正負を論議すれば良いので、9と2\(\sqrt{\quad}\)23の大小を比較する。
それぞれ二乗して比較すれば81＜92で2\(\sqrt{\quad}\)23の方が大きい。
よって1/β-4-\(\frac{3}{4}\)＞0
1/β-4＞\(\frac{3}{4}\)である。