y = a\(x^{2}\) + bx + c, a > 0
は O と, A(2, -2) を通るのだから各々代入して
c = 0,
-2 = 4a + 2b + c

だから 2a + b = -1.
従って b = -2a - 1

元の式に代入して
y = a\(x^{2}\) - (2a + 1)x
= a(\(x^{2}\) - (2 + \(\frac{1}{a}\))x)
= a((x - (2 + \(\frac{1}{a}\))/2\()^{2}\) - (2 + \(\frac{1}{a}\)\()^{2}\)/4)
= a((x - (2 + \(\frac{1}{a}\))/2\()^{2}\) - a(2 + \(\frac{1}{a}\)\()^{2}\)/4

(1) P(1 + 1/(2a), a + 1 + 1/(4a)).
(2) OP を対角線とする長方形の縦の長さは a + 1 + 1/(4a),
横の長さは 1 + 1/(2a) だから
周囲の長さは
2(a + 1 + 1/(4a) + 1 + 1/(2a))
= 2(2 + a + 3/(4a))
≧2(2 + 2\(\sqrt{\quad}\)(a×3/(4a)) … 相加平均と相乗平均の関係
= 2(2 + 2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{3}{4}\)))
= 2(2 + 2(\(\sqrt{\quad}\)3)/2) = 2(2 + 2\(\sqrt{\quad}\)3)
よって最小値は 2(2 + 2\(\sqrt{\quad}\)3).
このときの a は a = 3/(4a), a > 0 だから
4\(a^{2}\) = 3, a > 0 即ち
a = (\(\sqrt{\quad}\)3)/2.