(1)
A, B を通る直線は
y = -3\(\frac{x}{4}\) + \(\frac{17}{4}\).
これと m との交点を求めると
P(-5, 8).
x 軸上に正射影して
-1 と 3 を -5 が 1:2 に外分するから, 1:2.
(2)
P(x, -2x - 2) と置けるから
A\(P^{2}\) + B\(P^{2}\) = (x + 1\()^{2}\) + (-2x - 7\()^{2}\) + (x - 3\()^{2}\) + (-2x - 4\()^{2}\)
= \(x^{2}\) + 2x + 1
+4\(x^{2}\) + 28x + 49
+ \(x^{2}\) - 6x + 9
+4\(x^{2}\) + 16x + 16
= 10\(x^{2}\) +40x + 75
= 10(\(x^{2}\) + 4x) + 75
= 10(x + 2\()^{2}\) - 40 + 75
= 10(x + 2) + 35.
よって x = -2 即ち P(-2, 2) の時最小で,
最小値は 35.
(3)
A と対称な点を A'(x, y) と置くと
(y + 5)/2 = -2(x - 1)/2 - 2. (A, A' の中点が m の上にある)
(y - 5)/(x + 1) = \(\frac{1}{2}\). (直線 AA' は m と直行)
A'(-5, 3)
図を描いてみると分かるが, AP + BP の最小値は A'B の長さと等しいので
\(\sqrt{\quad}\)((3 + 5\()^{2}\) + (3 - 2\()^{2}\)) = \(\sqrt{\quad}\)(\(8^{2}\) + \(1^{2}\)) = \(\sqrt{\quad}\)65.