ｅの（－１）乗のままだと、答えは∞となるので、

ｅの（－ｘ）乗の間違えだと思います。

\(\int _{0}^{\infty }x^{^{3}}e^{^{-x}}dx\) は、ガンマ関数の次の公式から求めると便利である。

α、ｍ、ｎは正の定数とすると、

\(\int _{0}^{\infty }x^{^{m}}e^{^{-\alpha x^{n}}}dx=\frac{1}{n\alpha ^{^{\frac{m+1}{n}}}}\Gamma (\frac{m+1}{n})\)

ｍ＝３、α＝１、ｎ＝１より、

\(\int _{0}^{\infty }x^{^{3}}e^{^{-x}}dx=\frac{1}{1\cdot 1^{^{\frac{3+1}{1}}}}\Gamma (\frac{3+1}{1})=\Gamma (4)=3!=6\) ………（答）