S=Integral(exp(-\(x^{2}\)))dx*Integral(exp(-\(y^{2}\)))dy
=Integral(exp(-\(x^{2}\)-\(y^{2}\)))dxdy
x=r*cos(t),y=r*sin(t) then dxdy=rdrdt
S=Integral(exp(-\(r^{2}\))r)drdt=Pi
Then S=Sqrt(Pi)

ガンマ関数の次の公式から求めると便利である。

α、ｍ、ｎは正の定数とすると、

\(\int _{0}^{\infty }x^{^{m}}e^{^{-\alpha x^{n}}}dx=\frac{1}{n\alpha ^{^{\frac{m+1}{n}}}}\Gamma (\frac{m+1}{n})\)

ｍ＝０、α＝１、ｎ＝２より、

\(\int _{-\infty }^{\infty }e^{^{-x^{2}}}dx=2\int _{0}^{\infty }x^{^{0}}e^{^{-x^{2}}}dx=2\cdot \frac{1}{2\cdot 1^{^{\frac{0+1}{2}}}}\Gamma (\frac{0+1}{2})=\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }\) ………（答）

留数を用いる方法もある。
与式^2 = ∫_(-∞)^∞ e^(-\(x^{2}\)) dx ∫_(-∞)^∞ e^(-\(y^{2}\)) dy
= ∫∫_(\(R^{2}\)) e^(-(\(x^{2}\) + \(y^{2}\))) dxdy … 極座標に変換
= ∫∫_(\(R^{2}\)) e^ (-\(r^{2}\)) rdrdθ
= [θ]_0^(2π)[-e^(-\(r^{2}\))/2]_0^∞ = π.
だから
∫_(-∞)^∞ e^(-\(x^{2}\)) dx = \(\sqrt{\quad}\)π.

＜1064＞で質問したあきですが、

Γ(\(\frac{1}{2}\))＝\(\sqrt{\quad}\)π　　
にどうしてなるのかがわからないんです。お願いします。

ガンマ関数の定義は、 \(\Gamma (n)=\int _{0}^{\infty }x^{^{n-1}}e^{^{-x}}dx\) です。

　　１　　　∞　-\(\frac{1}{2}\)　-x
Γ（―）＝∫　ｘ　　ｅ　　ｄｘ
　　２　　　０

置換積分をする。 \(x=u^{^{2}}\) 　とおくと、

\(\Gamma (\frac{1}{2})=\int _{0}^{\infty }\frac{1}{u}e^{^{-u^{2}}}2udu=2\int _{0}^{\infty }e^{^{-u^{2}}}du\)

上のjuinさんとphaosさんの解答にあるように、 \(\int _{0}^{\infty }e^{^{-x^{2}}}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\) より、

\(\Gamma (\frac{1}{2})=2\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}=\sqrt{\pi }\) となる。

しかし、この展開は、「卵か鶏か」の論理になるので、

公式として \(\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }\) を覚えているときに使ってください。

ふつうはガンマ関数を使わないで、解いた方がよいですね。