レポートなんですが、教科書見てもわからないんです。
1）極限値問題。
n-1 1
lim Σ ――――――――――
n→∞ k=0 \(\sqrt{\quad}\)nの２乗－kの２乗
分母はすべてルートの中です。
2）広義積分が収束するようなａの範囲は？
∞ ｘの(a-1)乗
∫ ――――――― dx
0 １+ｘ
3) 積分の順序を交換せよ。
4 2\(\sqrt{\quad}\)x
∫ dx ∫ f(x,y)dy
0 x
お願いします。
(1)limSigma(1/Sqrt(\(n^{2}\)-\(k^{2}\))=limSigma(\(\frac{1}{n}\))(1/Sqrt(1-(\(\frac{k}{n}\)\()^{2}\)))
=Integral(dx/Sqrt(1-\(x^{2}\))) on 0＜x＜1
=P\(\frac{i}{2}\)
1)
与式 = lim Σ (\(\frac{1}{n}\))(1/\(\sqrt{\quad}\)(1 - (\(\frac{k}{n}\)\()^{2}\)))
= ∫_\(0^{1}\) dx/\(\sqrt{\quad}\)(1 - \(x^{2}\)) … x = sin t と置く
= ∫_0^(π/2) cos t dt/\(\sqrt{\quad}\)(1 - si\(n^{2}\) t)
= ∫_0^(π/2) dt = π/2.
2)
先ず x = 0 の方を見ると, a - 1 > -1 即ち
a > -2 でなければならない。
x → ∞ の方を見ると a ＜ -1 でなければならない。
よって -2 ＜ a ＜ -1.
3)
積分領域を描いてみると分かるが
x ≦ y ≦ 2\(\sqrt{\quad}\)x, 0 ≦ x ≦ 4
である。これを y の方を主体にしてみると
y ≦ x ≦ \(y^{2}\)/4, 0 ≦ y ≦ 4
だから
与式 = ∫_\(0^{4}\) dy ∫_(\(y^{2}\)/4\()^{y}\) f(x, y) dx.