こんにちは。インターネットを始めて、まだ1ヶ月です。
数学を教えてもらえるいい先生でもいないかな～？
なんて思ってたら、まさにぴったりのこのページに
出会いました。よろしくお願いします！！
問題
1から5までの番号のついた5つの箱と、1から5までの番号が
書いてある5枚のカードがある。この5枚のカードを手に持ち
1番目の箱から5番目の箱までに順にカードを1枚ずつ入れる。
そして、箱の中のカードの番号と箱の番号が一致している
番号の最少値をＸとし、得点ＹをＹ＝5-Ｘとする。
ただし、箱の中のカードの番号と箱の番号が全く一致してい
ないときはＹ＝0とする。
（1）5枚のカードの入れ方は全部で何通りあるか。
（2）＜1＞Ｘ＝1となる確率を求めよ。
＜2＞Ｘ＝2となる確率を求めよ。
＜3＞Ｘ＝3となる確率を求めよ。
（3）得点Ｙの期待値を求めよ。
すみません。まだあまり、うまく打てなくて、
歪んじゃいました（＾＾；）。読みにくいで
しょうが、よろしくおねがいします。
問（１）
順列5Ｐ5＝５×４×３×２×１＝１２０通り
問（２）
＜１＞Ｘ＝１となる確率
１／５……（答）
＜２＞Ｘ＝２となる確率
（３／５）×（１／４）＝３／２０……（答）
＜３＞Ｘ＝３となる確率
箱１に２が入るとき、
（１／５）×（３／４）×（１／３）＝１／２０
箱１に２以外が入るとき（当然１，３以外でもある）
（２／５）×（２／４）×（１／３）＝１／１５
したがって、
１／２０＋１／１５＝７／６０……（答）
問（３）
Ｘ：１ ２ ３ ４ ５ 他
Ｙ：４ ３ ２ １ ０ ０
より、期待値は
１ ３ ７ １１ ３ １１
─×４＋──×３＋──×２＋───×１＋──×０＋──×０
５ ２０ ６０ １２０ ４０ ３０
＝１８９／１２０＝１．５７５……（答）
このように答えていると、簡単に求まったように見えますが、
Ｘ＝４のときの確率が大変難しく、結局は全部書き出して
１１／１２０を求めた次第です。
Ｘ＝５も、他の場合（全部異なる）も同様です。
ちょっと解法としては綺麗でないので、何か良い方法があったら
教えて下さい。