1）
Pn(x)= 1 dのn乗
――――― ―――――(xの２乗－1)のn乗
2のn乗*ｎ! dxのn乗
をルジャンドルの多項式という。
ここで、ｎ＝1,2,・・・.この時、以下を説明せよ。
1 0（ｍ≠ｎ）
∫Pm(x)Pn(x)dx＝
-1 \(\frac{2}{2}\)n+1（ｍ＝ｎ）
２）
dxdy
∫∫ ―――――――――――――
D (1+xの2乗+yの2乗)の\(\frac{3}{2}\)乗
Ｄ＝(x,y)｜ 0 ≦ ｘの2乗 + yの2乗 ≦ 1 ｝
1080 と 1070 の 2) は同じ問題ですね。
x = r cos θ
y = r sin θ
と置くと \(x^{2}\) + \(y^{2}\) = \(r^{2}\),
dxdy = rdrdθ
で, D は 0 ＜ r ≦ 1, 0 ≦ θ ＜ 2π
(正確にいうとこれに原点 O を付け加えたもの。
一点は測度 0 だから無視して良い) に変換される。
与式 = ∫_0^(2π) dθ ∫_\(0^{1}\) rdr/(1 + \(r^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))
= 2π・(\(\frac{1}{2}\))∫_\(0^{1}\) d(1 + \(r^{2}\))/((1 + \(r^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))
= π[-2/\(\sqrt{\quad}\)(1 + \(r^{2}\))]_\(0^{1}\)
= π(-2/(\(\sqrt{\quad}\)2) + 2)
= (2 - \(\sqrt{\quad}\)2)π.
1)
Legendre の球函数については
高木貞治: 解析概論 改訂第 3 版, §36
に出ているので, それを見ると出来る。