解き方がよくわからないので、教えて下さい。
① (1＋ｘ)＾ｎの展開式において、16番目の係数と26番目の係数とが
等しいとき、ｎの値を求めよ。
② (ｘ＋ｙ)＾ｎの展開式において、6項目の係数は112、7項目は7、
8項目は\(\frac{1}{4}\)であるときｘ、ｙ、ｎを求めよ。
解き方がよくわからないので、教えて下さい。
① (1＋ｘ)＾ｎの展開式において、16番目の係数と26番目の係数とが
等しいとき、ｎの値を求めよ。
② (ｘ＋ｙ)＾ｎの展開式において、6項目の係数は112、7項目は7、
8項目は\(\frac{1}{4}\)であるときｘ、ｙ、ｎを求めよ。
(1)
二項係数の性質から
nC16 = nC(n-16) = nC26
で, n - 16 = 26 以外にはあり得ない。
n = 42.
(2) (問題が一寸おかしいので, 「y, n を求めよ」 で解く)
第 6 項: nC5 x^(n-5)\(y^{5}\) = 112 x^(n-5),
第 7 項: nC6 x^(n-6)\(y^{6}\) = 7 x^(n-6),
第 8 項: nC7 x^(n-7)\(y^{7}\) = x^(n-7)/4.
で 第 7 項の係数/第 6 項の係数, 第 8 項の係数/第 7 項の係数
を考えると (nCr = n!/(r!(n-r)!) だから)
(n - 5)\(\frac{y}{6}\) = \(\frac{1}{16}\),
(n - 6)y = \(\frac{1}{4}\)
を得る。
つまり
8(n - 5)y = 3,
4(n - 6)y = 1.
辺々割算すると
2(n - 5)/(n - 6) = 3
2n - 10 = 3n - 18
n = 8. (整数且つ 7 以上だから適)
一つ前のどちらかの式に代入して y = \(\frac{1}{8}\).