①
\(x^{5}\) - 1 = (x - 1)(\(x^{4}\) + \(x^{3}\) + \(x^{2}\) + x + 1) = 0
で ω ≠ 1 だから
ω^4 + ω^3 + ω^2 + ω + 1 = 0.
明らかに ω ≠ 0 だから ω^2 で両辺を割ると
ω^2 + ω + 1 + ω^(-1) + ω^(-2) = 0.
α = ω + ω^(-1) と置くと
α^2 = ω^2 + ω^(-2) + 2
だから
α^2 + α - 1 = 0.
従って
α^2 + α = 1.

②
ω = cos θ + i sin θ
と置くと, 定義から ω^5 = cos 5θ + i sin 5θ = 1.
だから 5θ = 2nπ, n ∈ Z, n は 5 の倍数ではない。
よって絶対値 1, 偏角 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5 である複素数を図示すればよい。
後半:
α^2 + α - 1 = 0
を解くと
α = (-1 \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)5)/2.
ω + ω^(-1) = (-1 \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)5)/2
2ω^2 -(-1 \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)5)ω + 2 = 0.
ω = [(-1 + \(\sqrt{\quad}\)5) \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)(-10 - 2\(\sqrt{\quad}\)5)]/4, [(-1 - \(\sqrt{\quad}\)5) \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)(-10 + 2\(\sqrt{\quad}\)5)]/4.
で, 2\(\sqrt{\quad}\)5 ＜ 10 だから, 虚数単位 i を用いると
ω = [(-1 \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)5) \(\pm\) i\(\sqrt{\quad}\)(10 \(\pm\) 2\(\sqrt{\quad}\)5)]/4 (\(\sqrt{\quad}\)5 の直前の複号だけ同順)
となる。 複素平面を考えて
cos(2π/5) = ( \(\sqrt{\quad}\)5 - 1)/4, sin(2π/5) = \(\sqrt{\quad}\)(10 + 2\(\sqrt{\quad}\)5)/4 が分かる。
従って
β = cos(\(\pm\)2π/5) = ( \(\sqrt{\quad}\)5 - 1)/4

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