1080 と 1070 の 2) は同じ問題ですね。
x = r cos θ
y = r sin θ
と置くと \(x^{2}\) + \(y^{2}\) = \(r^{2}\),
dxdy = rdrdθ
で, D は 0 ＜ r ≦ 1, 0 ≦ θ ＜ 2π
(正確にいうとこれに原点 O を付け加えたもの。
一点は測度 0 だから無視して良い) に変換される。
与式 = ∫_0^(2π) dθ ∫_\(0^{1}\) rdr/(1 + \(r^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))
= 2π・(\(\frac{1}{2}\))∫_\(0^{1}\) d(1 + \(r^{2}\))/((1 + \(r^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))
= π[-2/\(\sqrt{\quad}\)(1 + \(r^{2}\))]_\(0^{1}\)
= π(-2/(\(\sqrt{\quad}\)2) + 2)
= (2 - \(\sqrt{\quad}\)2)π.