(1) は (\(a_{i}\), \(a_{k}\)) が i = k ならば 1 に, そうでなければ 0 になることを
地道に計算すればよい。

(2) T(\(a_{1}\)) = \(a_{1}\) は定数だから自明。
T(\(a_{2}\)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)cos(x + θ) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)(cos x cos θ - sin x sin θ)
= \(a_{2}\) cos θ - \(a_{3}\) sin θ,
T(\(a_{5}\)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)sin(2(x + θ)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)(sin 2x cos 2θ + cos 2x sin 2θ)
= \(a_{5}\) cos 2θ + \(a_{4}\) sin 2θ
等々となるから, これを行列表現すればいい。

詳しい解答と頂きたいです。
難易度が高くてわからないのです。
よろしくお願いします。

(1)
http://phaos.hp.infoseek.co.j\(\frac{p}{i}\)nt\(\frac{2}{d}\)efin\(\frac{t}{s}\)imple.htm
の [11], [12], [13] を見よう。

(2)
ここまで書いたのに尚分からないとはかなり重症だ。
三角函数の加法定理も線型代数も分かってないのじゃないかと思われる。

前のように
T(\(a_{1}\)) = \(a_{1}\).
T(\(a_{2}\)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)cos(x + θ) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)(cos x cos θ - sin x sin θ)
= \(a_{2}\) cos θ - \(a_{3}\) sin θ,
T(\(a_{3}\)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)sin(x + θ) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)(sin x cos θ + cos x sin θ)
= \(a_{3}\) cos θ + \(a_{2}\) sin θ
T(\(a_{4}\)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)cos(2(x + θ)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)(cos 2x cos 2θ - sin 2x sin 2θ)
= \(a_{4}\) cos 2θ - \(a_{5}\) sin 2θ
T(\(a_{5}\)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)sin(2(x + θ)) = (1/\(\sqrt{\quad}\)π)(sin 2x cos 2θ + cos 2x sin 2θ)
= \(a_{5}\) cos 2θ + \(a_{4}\) sin 2θ

ということは T で
(1, 0, 0, 0, 0)→(1, 0, 0, 0, 0),
(0, 1, 0, 0, 0)→(0, cos θ, -sin θ, 0, 0),
(0, 0, 1, 0, 0)→(0, sin θ, cos θ, 0, 0),
(0, 0, 0, 1, 0)→(0, 0, 0, cos 2θ, -sin 2θ)
(0, 0, 0, 0, 1)→(0, 0, 0, sin 2θ, cos 2θ)
という変換を起こしているということだ。
だから行列で書くと (左右の括弧を省略)
------------------------
1　 0 　 0 　　0 　0
0　cosθ sinθ 　0 　 0
0 -sinθ cosθ　 0 　 0
0 　 0 　 0　cos2θ sin2θ
0 　 0 　 0 -sin2θ cos2θ
------------------------
ということになる。