証明が苦手で、冬休みのこの問題に苦戦してます。
証明してもらいたいです。
１ １ ２
──＋──≧───
２ａ ２ｂ ａ＋ｂ
(打ち込み方よくわからないので、
間があいてしまったけど、一応分数式です。）
証明が苦手で、冬休みのこの問題に苦戦してます。
証明してもらいたいです。
１ １ ２
──＋──≧───
２ａ ２ｂ ａ＋ｂ
(打ち込み方よくわからないので、
間があいてしまったけど、一応分数式です。）
不等式の証明で解けないものが出てきたら、大概、相加平均
相乗平均に関するものが多いようです。
この問題も下の公式を使います。
ａ＋ｂ
───≧\(\sqrt{\quad}\)（ａｂ）……①
２
この逆数の公式も使います。
２ １
───≦─────……②
ａ＋ｂ \(\sqrt{\quad}\)（ａｂ）
さっそく、①と②を利用して証明してみましょう。
１ １ ｂ＋ａ \(\sqrt{\quad}\)（ａｂ）
左辺＝──＋──＝───≧─────
２ａ ２ｂ ２ａｂ ａｂ
１ ２
＝─────≧───＝右辺
\(\sqrt{\quad}\)（ａｂ） ａ＋ｂ
したがって
左辺≧右辺
失礼とは思いますが以下のことが気になったので。
質問＜１０９＞は相加平均相乗平均使って証明
してありますが、これが使えるのはａ≧０、ｂ≧０
の時にかぎられるのではないでしょうか？
だから ａ＜０、ｂ＜０のとき、
ａ＞０、ｂ＜０のとき、（ａ＜０，ｂ＞０のとき）
ａ＞０、ｂ＞０のときの
４つの場合分けが必要ではないのでしょうか？