①Ｃ=∫_\(0^{1}\) \(e^{a}\)x cosbx dx (a・b≠0)
②平面曲線Ｔ：(x,y)=(x,cos hx), x∈[0,b], (b＞0,定数)に関して、
1)Ｔは生息平面曲線であることを示せ。
2)Ｔの長さL(T)を求めよ。
③Ｋ：＝｛(x,y)｜\(x^{2}\)/\(a^{2}\)＋\(y^{2}\)/\(b^{2}\)≦1｝のとき、
∬\(y^{2}\) dxdy の値を求めよ。
K
④ 1) 広義積分∬e^(-\(x^{2}\))・e^(-\(y^{2}\)) dxdy の値の求めよ。
2) 1)の結果を用いて、広義積分∫_-∞^∞ e^(-\(x^{2}\))dxの値を求めよ。
(1)
http://phaos.hp.infoseek.co.j\(\frac{p}{i}\)nt\(\frac{2}{b}\)yparts.htmの(7) により
∫_\(0^{1}\) e^(ax) cosbx dx
= [e^(ax)(a cos bx + b sin bx)/(\(a^{2}\) + \(b^{2}\))]_\(0^{1}\)
= ((\(e^{a}\))(a cos b + b sin b) - a)/(\(a^{2}\) + \(b^{2}\)).
(2)
1) 生息→正則
x で微分すると
(1, -h sin hx) でこれは 0 (ベクトル) にならないから正則。
(3) K: -(1 - \(x^{2}\)/\(a^{2}\)) ≦ \(y^{2}\)/\(b^{2}\) ≦1 - \(x^{2}\)/\(a^{2}\) だから
与式 = ∫_(-a\()^{a}\)(2∫_0^\(\sqrt{\quad}\)(1 - \(x^{2}\)/\(a^{2}\)) \(y^{2}\) dy) dx
= ∫_(-a\()^{a}\) (\(\frac{2}{3}\))[\(y^{3}\)]_0^\(\sqrt{\quad}\)(1 - \(x^{2}\)/\(a^{2}\)) dx
= (\(\frac{2}{3}\))∫_(-a\()^{a}\) \(\sqrt{\quad}\)(1 - \(x^{2}\)/\(a^{2}\)\()^{3}\) dx
= (\(\frac{4}{3}\))∫_\(0^{a}\) \(\sqrt{\quad}\)(1 - \(x^{2}\)/\(a^{2}\)\()^{3}\) dx
ここで x = a sin t と置換すると
与式 = (4\(\frac{a}{3}\))∫_0^(π/2) co\(s^{4}\) t dt
= aπ/4.
(http://phaos.hp.infoseek.co.j\(\frac{p}{i}\)nt\(\frac{2}{d}\)efin\(\frac{t}{b}\)yparts.htmの[11] を用いた)
(4)
1) x = r cos t, y = r sin t と置換する
与式 = ∫ e^(-\(r^{2}\)) r dr dt
= π[-e^(-\(r^{2}\))]_0^∞
= π.
2) π = (∫_(-∞)^∞ e^(-\(x^{2}\)) dx\()^{2}\)
だから
∫_(-∞)^∞ e^(-\(x^{2}\)) dx = \(\sqrt{\quad}\)π.