テイラー展開は、

\(f(x)=f(0)+f\prime (0)x+\frac{f\prime \prime (0)}{2!}x^{^{2}}+\frac{f\prime \prime \prime (0)}{3!}x^{^{3}}+\cdots\)

と表されるから、

指数関数 \(z=e^{^{at}}\) より、

\(f\prime (t)=ae^{^{at}},f\prime \prime (t)=a^{^{2}}e^{^{at}},f\prime \prime \prime (t)=a^{^{3}}e^{^{at}}\) だから、

\(f\prime (0)=a,f\prime \prime (0)=a^{^{2}},f\prime \prime \prime (0)=a^{^{3}}\) 、ｆ（０）＝１

したがって、無限級数（この場合は、テイラー展開）は、

\(z=1+at+\frac{a^{^{2}}}{2!}t^{^{2}}+\frac{a^{^{3}}}{3!}t^{^{3}}+\cdots +\frac{a^{^{k}}}{k!}t^{^{k}}+\cdots\)

となります。