ルート２もルート３もルート７も背理法で証明します。
問１
　ルート２が有理数と仮定します。有理数とは分数のことだから、
ルート２＝Ｎ／Ｍ（Ｍ，Ｎは自然数）と表せる。ここでは、約分した
既約分数とする。
　　　　　　　　　Ｎ²
　２乗して、２＝───となるから、分母を払って、
　　　　　　　　　Ｍ²
２・Ｍ² ＝Ｎ² ……①
　左辺は２の倍数だから、右辺も２の倍数となる。Ｎの２乗が２の倍数
ならば、Ｎも２の倍数となるから、Ｎ＝２Ｋの形に書ける。
ただし、Ｋは自然数。
　これを、①に代入して、２Ｍ²＝（２Ｋ）²
　２で両辺を割って、Ｍ²＝２Ｋ²
　右辺は２の倍数だから、左辺も２の倍数となる。Ｍの２乗が２の倍数
ならば、Ｍも２の倍数となるから、Ｍ＝２Ｌの形に書ける。ただし、
Ｌは自然数。
Ｎ　２Ｋ　Ｋ
─＝──＝─となり、既約分数であることに矛盾する。
Ｍ　２Ｌ　Ｌ
このような矛盾が生じたのは、ルート２を有理数と仮定したからである。
したがって、ルート２は無理数でなければならない。

問２
　ルート３が有理数と仮定します。ルート３＝Ｎ／Ｍ（Ｍ，Ｎは自然数）
と表せる。ここでは、約分した既約分数とする。
　２乗して、３＝Ｎ²／Ｍ²となるから、分母を払って、
　３Ｍ²＝Ｎ²…①
　Ｎの２乗が３の倍数ならば、Ｎも３の倍数となる。
なんとなれば、
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　Ｎが３の倍数でないならば、Ｎの２乗は３の倍数でないを証明する。
　　（１）Ｎ＝３ｋ＋１のとき、Ｎ²＝（３ｋ＋１）²
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝９ｋ²＋６ｋ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３（３ｋ²＋２ｋ）＋１
　　（２）Ｎ＝３ｋ＋２のとき、Ｎ²＝（３ｋ＋２）²
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝９ｋ²＋１２ｋ＋４
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３（３ｋ²＋４ｋ＋１）＋１
したがって、証明された。
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そこで、Ｎ＝３Ｋの形に書ける。ただし、Ｋは自然数。
　これを、①に代入して、３Ｍ²＝（３Ｋ）²
　３で両辺を割って、Ｍ²＝３Ｋ²
　右辺は３の倍数だから、左辺も３の倍数となる。
Ｍの２乗が３の倍数ならば、Ｍも３の倍数となるから、Ｍ＝３Ｌの形に
書ける。ただし、Ｌは自然数。
Ｎ　３Ｋ　Ｋ
─＝──＝─となり、既約分数であることに矛盾する。
Ｍ　３Ｌ　Ｌ
このような矛盾が生じたのは、ルート３を有理数と仮定したからである。
したがって、ルート３は無理数でなければならない。

問３
　ルート７が有理数と仮定します。ルート７＝Ｎ／Ｍ（Ｍ，Ｎは自然数）
と表せる。ここでは、約分した既約分数とする。
　２乗して、７＝Ｎ²／Ｍ²となるから、分母を払って、
　７Ｍ²＝Ｎ²…①
　Ｎの２乗が７の倍数ならば、Ｎも７の倍数となる。
そこで、Ｎ＝７Ｋとする。ただし、Ｋは自然数。
これを、①に代入して、７Ｍ²＝（７Ｋ）²
　７で両辺を割って、Ｍ²＝７Ｋ²
　右辺は７の倍数だから、左辺も７の倍数となる。
Ｍの２乗が７の倍数ならば、Ｍも７の倍数となるから、Ｍ＝７Ｌの形に
書ける。ただし、Ｌは自然数。
Ｎ　７Ｋ　Ｋ
─＝──＝─となり、既約分数であることに矛盾する。
Ｍ　７Ｌ　Ｌ
このような矛盾が生じたのは、ルート７を有理数と仮定したからである。
したがって、ルート７は無理数でなければならない。

問４
　ルート４が有理数と仮定します。ルート４＝Ｎ／Ｍ（Ｍ，Ｎは自然数）
と表せる。ここでは、約分した既約分数とする。
　２乗して、４＝Ｎ²／Ｍ²となるから、分母を払って、
４Ｍ²＝Ｎ²…①
　左辺は４の倍数なので、右辺も４の倍数となる。
Ｎの２乗が４の倍数ならば、Ｎも４の倍数となるわけではなく、
２の倍数となる。Ｎ＝２Ｋ
　これを、①に代入して、、４Ｍ²＝（２Ｋ）²
　４で両辺を割って、Ｍ²＝Ｋ²
　Ｍ＝Ｋより、Ｎ／Ｍ＝２Ｋ／Ｋ＝２となり、ルート４は有理数２となる。
　したがって、「ルートＡが無理数」のＡは平方数を除くことになる。

問５
　ルート８が有理数と仮定します。ルート８＝Ｎ／Ｍ（Ｍ，Ｎは自然数）
と表せる。ここでは、約分した既約分数とする。
　２乗して、８＝Ｎ²／Ｍ²となるから、分母を払って、
８Ｍ²＝Ｎ²…①
　左辺は８の倍数だから、右辺も８の倍数となる。
Ｎの２乗が８の倍数ならば、Ｎは４の倍数となるから、
Ｎ＝４Ｋの形に書ける。ただし、Ｋは自然数。
　これを、①に代入して、、８Ｍ²＝（４Ｋ）²
　８で両辺を割って、Ｍ²＝２Ｋ²
　右辺は２の倍数だから、左辺も２の倍数となる。
Ｍの２乗が２の倍数ならば、Ｍも２の倍数となるから、Ｍ＝２Ｌの形に書ける。
ただし、Ｌは自然数。
Ｎ／Ｍ＝４Ｋ／２Ｌ＝２Ｋ／Ｌとなり、既約分数であることに矛盾する。
このような矛盾がでたのは、ルート８を有理数と仮定したからである。
したがって、ルート８は無理数でなければならない。

よくわかりました．ありがとうございました．
今年うちの一人娘が高校にはいって，数学の難しさに困っています．
父子2人3脚で頑張ろうというところです．私の質問など，基礎的な
ことばかりで，面白みはないかと思いますが
これからもよろしくお願いします．

一般的に次の定理が成り立つと思います．
m²がn（mは正の整数，nは素数）の倍数ならmはnの倍数である．
証明：
m²がnの倍数であるときmがnの倍数でないとすると
m=kn+i と表せる．(kは正の整数，iはnより小さい正の整数）
両辺を2乗して，
m²²・n²+2ikn+i²²・n+2ik)n+i²
i²はnの倍数ではない（証明1より）のでこれはm²がnの倍数であることに反する．
∴mはnの倍数である

証明1：
i²がnの倍数であるとすると
i<sup>2 両辺をiで割って
i=(l・n)/i
nは素数なのでnと1以外で割れないので，
l・n=j・i・n（jは正の整数）と表される．
3行上の式にこれを代入すると，
i=j・n
これはi＜nに反する．
だからi2はnの倍数ではない．

とこれでいいんでしょうかね．</sup>