0＜x≦1、0＜y≦1で、
log(\(\frac{1}{2}\))x＋log(\(\frac{1}{2}\))y＝(log(\(\frac{1}{2}\))x)2乗+(log(\(\frac{1}{2}\))y)2乗を
満たしているとき、xyのとりうる値を求めよ。
log(\(\frac{1}{2}\))x=X、log(\(\frac{1}{2}\))y=Yとすると、円の方程式になるのですが、
そこから分かりません。
0＜x≦1、0＜y≦1で、
log(\(\frac{1}{2}\))x＋log(\(\frac{1}{2}\))y＝(log(\(\frac{1}{2}\))x)2乗+(log(\(\frac{1}{2}\))y)2乗を
満たしているとき、xyのとりうる値を求めよ。
log(\(\frac{1}{2}\))x=X、log(\(\frac{1}{2}\))y=Yとすると、円の方程式になるのですが、
そこから分かりません。
条件から
X ≧ 0, Y ≧ 0 で
X + Y = \(X^{2}\) + \(Y^{2}\)
即ち
(X - \(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) + (Y - \(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) = \(\frac{1}{2}\).
円を描いてみて
k = X + Y (= log_(\(\frac{1}{2}\)) x + log_(\(\frac{1}{2}\)) y = log_(\(\frac{1}{2}\)) (xy))
とすると, この直線と, 上記の円の X ≧ 0, Y ≧ 0 の部分とが
交わる場合は
1 ≦ k ≦ 2
即ち
1 ≦ log_(\(\frac{1}{2}\)) (xy) ≦ 2
底は 0 ＜ \(\frac{1}{2}\) ＜ 1 を満たすので
(\(\frac{1}{2}\)\()^{1}\) ≧ xy ≧ (\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) = \(\frac{1}{4}\).
即ち \(\frac{1}{4}\) ≦ xy ≦ \(\frac{1}{2}\).