ＯＡ＝３，ＯＢ＝ＯＣ＝ＢＣ＝２である四面体ＯＡＢＣがあり，
→＝→，→＝→，→＝→とすると，→・\(\vec{OA}\) ａ OB ｂ OC ｃ ａ ｂ＝－１を満たしている。
（１）→・→と，ＡＢの値を求めよ。
ｂ ｃ
（２）辺ＢＣの中点をＭとし，→＝ →（ｔは実数）
AP ｔAM
である点をＰとするとき，→を求めよ。
OP
さらに,ＡＢ＝ＡＣ,ＯＰ⊥ＡＢを満たしているときの
→と，このときの四面体ＯＡＢＣの体積を求めよ。
OP
（１） \(\vec{b}\bullet \vec{c}=2\times 2\times \cos 60^{o}=4\times \frac{1}{2}=2\) ………（答）
\(\vec{a}\bullet \vec{b}=3\times 2\times \cos \theta =-1\)
\(\cos \theta =-\frac{1}{6}\)
\(AB^{2}=3^{2}+2^{2}-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos \theta =9+4-12\times (-\frac{1}{6})=13+2=15\)
\(AB=\sqrt{15}\) ………（答）
（２） \(\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\) より、
\(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AM}=t(\overrightarrow{OM}-\vec{a})=t(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{a})=\frac{t}{2}(\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a})\)
\(\overrightarrow{OP}=\vec{a}+\overrightarrow{AP}=\vec{a}+\frac{t}{2}(\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a})=(1-t)\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}+\frac{t}{2}\vec{c}\) ………（答）
（３）ＡＢ＝ＡＣかつＯＰ⊥ＡＢとすると、
\(\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}\) より、
\(\overrightarrow{OP}\bullet \overrightarrow{AB}=\{ (1-t)\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}+\frac{t}{2}\vec{c}\} \bullet (\vec{b}-\vec{a})\)
\(=\{ (1-t)-\frac{t}{2}\} \vec{a}\bullet \vec{b}-(1-t)\mid \vec{a}\mid ^{2}+\frac{t}{2}\mid \vec{b}\mid ^{2}+\frac{t}{2}\vec{b}\bullet \vec{c}-\frac{t}{2}\vec{a}\bullet \vec{c}\)
\(=(1-\frac{3t}{2})(-1)-(1-t)\cdot 9+\frac{t}{2}\cdot 4+\frac{t}{2}\cdot 2-\frac{t}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot (-\frac{1}{6})\)
\(=\frac{3t}{2}-1-9+9t+2t+t+\frac{t}{2}=14t-10=0\)
したがって、 \(t=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\)
\(\overrightarrow{OP}=\frac{2}{7}\vec{a}+\frac{5}{14}\vec{b}+\frac{5}{14}\vec{c}\) ………（答）
△ＡＢＣにおいて、∠ＣＡＢ＝φとすると、
\(2^{^{2}}=(\sqrt{15})^{2}+(\sqrt{15})^{2}-2\sqrt{15}\sqrt{15}\cos \phi\)
\(\cos \phi =\frac{26}{30}=\frac{13}{15}\)
\(\sin \phi =\sqrt{1-\cos ^{2}\phi }=\sqrt{1-(\frac{13}{15})^{2}}=\frac{\sqrt{225-169}}{15}=\frac{\sqrt{56}}{15}\)
△ＡＢＣの面積をＳとすると、
\(S=\frac{1}{2}\sqrt{15}\sqrt{15}\sin \phi =\frac{15}{2}\cdot \frac{\sqrt{56}}{15}=\frac{2\sqrt{14}}{2}=\sqrt{14}\)
\(\mid \overrightarrow{OP}\mid ^{2}=\{ \frac{1}{14}(4\vec{a}+5\vec{b}+5\vec{c})\} \bullet \{ \frac{1}{14}(4\vec{a}+5\vec{b}+5\vec{c})\}\)
\(=\frac{1}{14^{^{2}}}(16\mid \vec{a}\mid ^{2}+25\mid \vec{b}\mid ^{2}+25\mid \vec{c}\mid ^{2}+40\vec{a}\bullet \vec{b}+50\vec{b}\bullet \vec{c}+40\vec{a}\bullet \vec{c})\)
\(=\frac{1}{14^{2}}\{ 16\cdot 9+25\cdot 4+25\cdot 4+40\cdot (-1)+50\cdot 2+40\cdot (-1)\}\)
\(=\frac{1}{14^{2}}(144+100+100-40+100-40)=\frac{364}{14^{2}}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}\)
\(OP=\sqrt{\frac{13}{7}}\)
したがって、四面体ＯＡＢＣの体積をＶとすると、
\(V=\frac{1}{3}OP\cdot S=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{\frac{13}{7}}\cdot \sqrt{14}=\frac{1}{3}\sqrt{26}\) ………（答）