関数 f(x)＝{－1／n(n＋1）}x~2＋{n（n＋1）－1／n(n＋1）｝x＋1 について、
Ｓ＝ｆ(0）＋ｆ(1)＋ｆ(2）＋ｆ(3）＋・・・・＋ｆ(ｎ)
をnを用いてあらわせ。
という簡単なシグマの問題なのですが、何度やっても正式な答えと違う
答えが出ます。途中の計算を詳しく教えてください。お願いします。
ちなみに答えは、1／6(n＋２）(３n＋１）らしいです。
関数 f(x)＝{－1／n(n＋1）}x~2＋{n（n＋1）－1／n(n＋1）｝x＋1 について、
Ｓ＝ｆ(0）＋ｆ(1)＋ｆ(2）＋ｆ(3）＋・・・・＋ｆ(ｎ)
をnを用いてあらわせ。
という簡単なシグマの問題なのですが、何度やっても正式な答えと違う
答えが出ます。途中の計算を詳しく教えてください。お願いします。
ちなみに答えは、1／6(n＋２）(３n＋１）らしいです。
\(f(x)=\{ -\frac{1}{n(n+1)}\} x^{2}+\{ \frac{n(n+1)-1}{n(n+1)}\} x+1\) のとき、
\(S=f(0)+\sum _{k=1}^{n}f(k)\)
\(=1+\{ -\frac{1}{n(n+1)}\} \sum _{k=1}^{n}k^{2}+\{ \frac{n^{2}+n-1}{n(n+1)}\} \sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1\)
\(=1-\frac{1}{n(n+1)}\times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n^{^{2}}+n-1}{n(n+1)}\times \frac{n(n+1)}{2}+n\)
\(=1-\frac{2n+1}{6}+\frac{n^{^{2}}+n-1}{2}+n\)
\(=\frac{1}{6}\{ 6-(2n+1)+3(n^{^{2}}+n-1)+6n\}\)
\(=\frac{1}{6}(6-2n-1+3n^{^{2}}+3n-3+6n)\)
\(=\frac{1}{6}(3n^{^{2}}+7n+2)=\frac{1}{6}(n+2)(3n+1)\)