2次方程式\(x^{2}\)+2px+2\(p^{2}\)-p-2=0 の解が次の条件を満たすとき、
実数の定数pの値はどのような範囲にあるか。
(1)1より小さい解と1より大きい解をもつ。
(2)0以上の解をもつ。
(3)-1以下の解と1より大きい解をもつ。
という複素数と方程式というテーマのところの問題です。
どうすればいいのか全くわかりません。
どうぞ教えてください。
2次方程式\(x^{2}\)+2px+2\(p^{2}\)-p-2=0 の解が次の条件を満たすとき、
実数の定数pの値はどのような範囲にあるか。
(1)1より小さい解と1より大きい解をもつ。
(2)0以上の解をもつ。
(3)-1以下の解と1より大きい解をもつ。
という複素数と方程式というテーマのところの問題です。
どうすればいいのか全くわかりません。
どうぞ教えてください。
実数解を持つためには
D/4 = \(p^{2}\) - (2\(p^{2}\) - p - 2) = -\(p^{2}\) + p + 2
= -(\(p^{2}\) - p - 2) = -(p - 2)(p + 1) ≧ 0
即ち
-1 ≦ p ≦ 2…(a)
の範囲になければならない。
以下この条件下で考える。
y = \(x^{2}\) + 2px + 2\(p^{2}\) - p - 2
と置く。
y = (x + p\()^{2}\) + \(p^{2}\) - p - 2
であるから, この放物線は頂点が (-p, \(p^{2}\) - p - 2) にある。
下に凸の曲線である。
(1) graph を考えると
x = 1 の時 y = 2\(p^{2}\) + p - 1 = (2p - 1)(p + 1) ＜ 0
であればよいから
-1 ＜ p ＜ \(\frac{1}{2}\).
(2) (a) の条件下では
軸: x = -p ＜ 0 ではない
ことが条件だから, p > 0 ではない, 即ち p ≦ 0.
(a) と合わせて -1 ≦ p ≦ 0.
(3) x = \(\pm\)1 の時 y ＜ 0 であればよい。
x = 1 の時は (1) と同じ。
x = -1 の時 y = 2\(p^{2}\) -3p -1 ＜ 0.
(3 - \(\sqrt{\quad}\)17)/4 ＜ p ＜ (3 + \(\sqrt{\quad}\)17)/4.
[\(\sqrt{\quad}\)17 > 4 より, (3 + \(\sqrt{\quad}\)17)/4 > \(\frac{7}{4}\).
3 - \(\sqrt{\quad}\)17 ＜ 0 で,
\(\sqrt{\quad}\)17 ＜ 5 より
(3 - \(\sqrt{\quad}\)17)/4 > -\(\frac{1}{2}\)]
従って
(3 - \(\sqrt{\quad}\)17)/4 ＜ p ＜ \(\frac{1}{2}\).