1.
a>1のとき、lim[n->∞]∫[0,n]{1+(\(\frac{x}{n}\))}^n*e^(-ax)dx
=∫[0,∞){\(e^{x}\)*e^(-ax)}dx=1/(a-1)

Proof lim[n->∞]{1+(\(\frac{x}{n}\))}^n=\(e^{x}\) (広義一様収束）
f(x)=\(e^{x}\)*e^(-ax),fn(x)=(1+(\(\frac{x}{n}\))\()^{n}\)*e^(-ax)とする。
|∫[0,∞)fdx-∫[0,n]fndx|　　(*)
＜∫[0,L]|f-fn|dx+∫[L,n]|f-fn|dx+∫[n,∞)fdx
ここで、ε>0に対して、L>0を次のように決める。
∫[L,n]|f-fn|dx+∫[n,∞)fdx＜∫[L,∞)fdx=e^((1-a)L)/(a-1)＜ε
更に、Nを十分大きくとって、
n>Nに対して|f(x)-fn(x)|＜ε/L　x∈[0,L]とする。
(*)＜ε+ε=2ε
よって、lim[n->∞]∫[0,n]{1+(\(\frac{x}{n}\))}^n*e^(-ax)dx
=∫[0,∞){\(e^{x}\)*e^(-ax)}dx=1/(a-1)

(2)について。
三角関数がかかっていなければただの対数関数なんですが。
いまいちイメージが掴めなかったのでシミュレーションを。
$x$軸にへばりついてるのが$\alpha=0$で、両端が収束して
ないのが$\alpha=\p\(\frac{i}{2}\)$です。
やっぱり対数関数に近い感じなんですよねぇ。
でも初等関数でどう表現していいのやら。

(2)について。
高木貞治の『解析概論』をめくっていたら
答えが分かったので報告します。

1 (1+x\()^{2}\)
- log ------------------------
4 1+2x\cos(2\alpha)+\(x^{2}\)

です。