有理数a,b,cを係数とする方程式ｘ~3＋aｘ~2＋bｘ＋c＝０の
解の１つが１＋\(\sqrt{\quad}\)2であるとする、
このとき次の各問いに答えよ。
ただし\(\sqrt{\quad}\)2が無理数であることを用いてよい。
①a,b,cの条件を求めよ。
②1－\(\sqrt{\quad}\)2もまた解である事を示せ。
③a,bがa~2＋b~2＜２５をみたすとき、
cの最大値と、a,bの値を求めよ。（＜は＝を含む）
有理数a,b,cを係数とする方程式ｘ~3＋aｘ~2＋bｘ＋c＝０の
解の１つが１＋\(\sqrt{\quad}\)2であるとする、
このとき次の各問いに答えよ。
ただし\(\sqrt{\quad}\)2が無理数であることを用いてよい。
①a,b,cの条件を求めよ。
②1－\(\sqrt{\quad}\)2もまた解である事を示せ。
③a,bがa~2＋b~2＜２５をみたすとき、
cの最大値と、a,bの値を求めよ。（＜は＝を含む）
(1)
x = 1 + \(\sqrt{\quad}\)2 を代入すると
7 + 5\(\sqrt{\quad}\)2 + a(3 + 2\(\sqrt{\quad}\)2) + b(1 + \(\sqrt{\quad}\)2) + c
= (3a + b + c + 7) + (2a + b + 5)\(\sqrt{\quad}\)2 = 0.
a, b, c は有理数で \(\sqrt{\quad}\)2 は無理数だから
3a + b + c + 7 = 0
2a + b + 5 = 0.
(2) x = 1 - \(\sqrt{\quad}\)2 を左辺に代入すると
\(x^{3}\) + a\(x^{2}\) + bx + c
= 7 - 5\(\sqrt{\quad}\)2 + a(3 - 2\(\sqrt{\quad}\)2) + b(1 - \(\sqrt{\quad}\)2) + c
= (3a + b + c + 7) - (2a + b + 5)\(\sqrt{\quad}\)2 = 0
だから 1 - \(\sqrt{\quad}\)2 も解。
(3)
(1) で求めた条件から
a = -c - 2,
b = -2a - 5 = 2c - 1.
これらから
\(a^{2}\) + \(b^{2}\) = (-c - 2\()^{2}\) + (2c - 1\()^{2}\)
= 5\(c^{2}\) + 5 = 5(\(c^{2}\) + 1) ≦ 25.
\(c^{2}\) + 1 ≦ 5.
\(c^{2}\) ≦ 4
-2 ≦ c ≦ 2.
従って c の最大値は 2.
その時の a = -2 - 2 = -4,
b = 4 - 1 = 3.