lim{(\(n^{n}\))/(n!)}
=lim{(\(\frac{n}{n}\))(n/(n-1))(n/(n-2))...(\(\frac{n}{2}\))(\(\frac{n}{1}\))}
>lim(\(\frac{n}{1}\))=∞

juin 氏の解答は n 乗根を取ることを忘れている。

一般に乗法系の極限は対数をとって考える。
log ((\(n^{n}\))/(n!))^(\(\frac{1}{n}\))
= (\(\frac{1}{n}\)) log ((\(n^{n}\))/(n!))
= (\(\frac{1}{n}\))(log (\(\frac{n}{1}\)) + log(\(\frac{n}{2}\)) + …+ log(\(\frac{n}{n}\)))
= (\(\frac{1}{n}\)) Σ_(k=1\()^{n}\) (log (\(\frac{n}{k}\)))
= -(\(\frac{1}{n}\))Σ_(k=1\()^{n}\) log (1/(\(\frac{k}{n}\)))
→ -∫_\(0^{1}\) log x dx
= -[x log x - x]_\(0^{1}\) = 1 (as n → ∞)
従って
lim_(n→∞) ((\(n^{n}\))/(n!))^(\(\frac{1}{n}\)) = \(e^{1}\) = e.

これを利用して e を計算することは得策ではない。
それは n が替わる毎に計算し直さなければならないから。
即ち例えば n = 10000 と n = 10001 を計算するときに
n = 10000 の結果は全く役に立たない。

収束の速さは調べてないので分からないが,
Σ_(k=0)^∞ (1/(k!))
の方が計算には適した式である。