4\(x^{3}\)+4\(y^{3}\)+4\(z^{3}\)+4xy+4yz+4zxを
基本対称式σi(i=0,1,2,3・・・)の整式で表したいのですが、
さっぱりわかりません。詳しくお願い致します。
4\(x^{3}\)+4\(y^{3}\)+4\(z^{3}\)+4xy+4yz+4zxを
基本対称式σi(i=0,1,2,3・・・)の整式で表したいのですが、
さっぱりわかりません。詳しくお願い致します。
基本対称式を
\(\left\{\)
とすると、
与式Ｐを変形して、
\(P=4x^{^{3}}+4y^{^{3}}+4z^{^{3}}+4xy+4yz+4zx\)
\(=4(x^{^{3}}+y^{^{3}}+z^{^{3}}+xy+yz+zx)\)
公式 \(x^{^{3}}+y^{^{3}}+z^{^{3}}-3xyz=(x+y+z)(x^{^{2}}+y^{^{2}}+z^{^{2}}-xy-yz-zx)\) と
公式 \(x^{^{2}}+y^{^{2}}+z^{^{2}}+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^{^{2}}\)
利用して、
\(P=4\{ (x+y+z)(x^{^{2}}+y^{^{2}}+z^{^{2}}-xy-yz-zx)+3xyz+(xy+yz+zx)\}\)
\(=4\sigma _{_{1}}\{ (x+y+z)^{^{2}}-2(xy+yz+zx)-(xy+yz+zx)\} +12\sigma _{_{3}}+4\sigma _{_{2}}\)
\(=4\sigma _{_{1}}(\sigma _{_{1}}^{^{2}}-3\sigma _{_{2}})+12\sigma _{_{3}}+4\sigma _{_{2}}\)
\(=4\sigma _{_{1}}^{^{3}}-12\sigma _{_{1}}\sigma _{_{2}}+12\sigma _{_{3}}+4\sigma _{_{2}}\) ………（答）