箱１に当たり籤をn枚、箱２に当たり籤を(100-n)枚入れる。
当たる確率は、
(\(\frac{1}{2}\))(\(\frac{n}{500}\))+(\(\frac{1}{2}\))((100-n)/500)=(\(\frac{1}{2}\))(\(\frac{100}{500}\))=\(\frac{1}{10}\)
当たり籤を引く確率は、最大\(\frac{1}{10}\),最小\(\frac{1}{10}\)

確率の問題を読み間違えました。「あたり９００枚」「はずれ１００枚」
なので、当たる確率は９／１０です。

1000枚の籤すべてを引き終えたとき最終的に当籤確率が \(\frac{9}{10}\) になるのは
籤をどのように分けたとしても変わりませんから，
この問題はそのことを問おうとしているのではないように思います。
「ある１回の試行における」当籤確率がどうなるか，
を問うているのではないでしょうか。

直観的に，次のような分け方になりそうな気がします。
スミマセン，素人なので，式が立てられませんし，立てても解けません(^^;

最大の場合：
箱１…アタリ籤１枚のみ入れる。
箱２…アタリ籤899枚，ハズレ籤100枚を入れる。
当籤確率… \(\frac{1}{2}\) * (\(\frac{1}{1}\)) + \(\frac{1}{2}\) * (\(\frac{899}{999}\)) ＝ ０．９４９…

最小の場合：
箱１…アタリ籤900枚を入れる。
箱２…ハズレ籤100枚を入れる。
当籤確率… \(\frac{1}{2}\) * (\(\frac{900}{900}\)) + \(\frac{1}{2}\) * (\(\frac{0}{100}\)) ＝ ０．５

当たる確率をもっと小さくする方法。
箱１。すべての籤を入れる。
箱２。空
確率　(\(\frac{1}{2}\))(\(\frac{900}{1000}\))+(\(\frac{1}{2}\))(0)=\(\frac{9}{20}\)=0.45

ホントだ，迂闊でした(^^;

箱が空だと籤引きできなくて支障があるのなら，
最大の場合（だと直観的に私が思っている）の逆パターンで，

箱１…ハズレ籤１枚のみ入れる。
箱２…アタリ籤900枚，ハズレ籤99枚を入れる。
当籤確率… \(\frac{1}{2}\) * (\(\frac{0}{1}\)) + \(\frac{1}{2}\) * (\(\frac{900}{999}\)) ＝ ０．４５０…

とすればいいですものね。juinさんご指摘のとおりだと思います。