定数aに対し、a>1のとき、
aのn乗の極限が∞になることは分かるのですが、
その証明が分かりません。
a>1 より a=1+h (h>0) と表せ、
aのn乗は (1+h)のn乗となり、
これを計算すれば無限になる証明ができる、
と先生はおっしゃったのですが、
二項定理で展開してから、どうするのか
わかりません。宜しくお願いします。
定数aに対し、a>1のとき、
aのn乗の極限が∞になることは分かるのですが、
その証明が分かりません。
a>1 より a=1+h (h>0) と表せ、
aのn乗は (1+h)のn乗となり、
これを計算すれば無限になる証明ができる、
と先生はおっしゃったのですが、
二項定理で展開してから、どうするのか
わかりません。宜しくお願いします。
n > 2 とすれば h > 0 だから
\(a^{n}\) = (1 + h\()^{n}\) > 1 + nh → +∞.
(1+h\()^{n}\)=1+nh+...+\(h^{n}\)>1+nh だから、
lim(1+h\()^{n}\)≧lim(1+nh)=∞
(1+h\()^{n}\)=1+nh+{n(n-1)/2}\(h^{2}\)+……
+\(h^{n}\)
h＞0より
(1+h\()^{n}\)＞nh
lim[n→∞]nh=+∞より
lim[n→∞](1+h\()^{n}\)=+∞
よって
lim[n→∞]\(a^{n}\)=+∞