\(x^{4}\)-1を整式P(x)で割ったら、商が\(x^{3}\)-3\(x^{2}\)+9x-27で、余りが80であった。
P(x)を求めよ
という問題がわかりません。
一体どうやってP(x)を求めたらいいのでしょうか？
\(x^{4}\)-1を整式P(x)で割ったら、商が\(x^{3}\)-3\(x^{2}\)+9x-27で、余りが80であった。
P(x)を求めよ
という問題がわかりません。
一体どうやってP(x)を求めたらいいのでしょうか？
(\(x^{4}\)-1)÷P(x)=(\(x^{3}\)-3\(x^{2}\)+9x-27)...80だから、
(\(x^{4}\)-1)=P(x)(\(x^{3}\)-3\(x^{2}\)+9x-27)+80 である。
\(x^{4}\)-81=P(x)(\(x^{3}\)-3\(x^{2}\)+9x-27)
(\(x^{2}\)+9)(\(x^{2}\)-9)=P(x)(x-3)(\(x^{2}\)+9)
よって、P(x)=x+3
先ず P(x) の次数を考える。四次式を割って商が三次ということは,
P(x) は一次式でないと計算が合わない。
それから, 商の最高次の係数が 1, \(x^{4}\) - 1 の最高次の係数も 1 だから,
P(x) = x - k という形をしていることが分かる。
除法定理 (division algorithm) によって
\(x^{4}\) - 1 = (x - k)(\(x^{3}\) - 3\(x^{2}\) + 9x - 27) + 80
であるが, この式に x = 0 を代入すると
-1 = 27k + 80
27k = -81 即ち k = -3 だから P(x) = x + 3.