複素数も使うらしいです

正n角形の１辺の長さを１とする。
各辺のベクトルをej(j=1..n)とする。
ej=(cos(2π\(\frac{j}{n}\)),sin(2π\(\frac{j}{n}\)))と表せる。

Y=Σ(x,ej)ejとなる。ここで、(x,ej)は内積をあらわす。
x=(a,b)とすると、
(x,ej)ej=(a*cos(2π\(\frac{j}{n}\))+b*sin(2π\(\frac{j}{n}\)))(cos(2π\(\frac{j}{n}\)),sin(2π\(\frac{j}{n}\)))

第１成分は(a*cos(2π\(\frac{j}{n}\))+b*sin(2π\(\frac{j}{n}\)))cos(2π\(\frac{j}{n}\))
=a*cos(2π\(\frac{j}{n}\))cos(2π\(\frac{j}{n}\))+b*sin(2π\(\frac{j}{n}\))cos(2π\(\frac{j}{n}\))
=a(1+cos(4π\(\frac{j}{n}\)))/2+b*sin(4π\(\frac{j}{n}\))/2
これをj=1...nでたすと、n\(\frac{a}{2}\)となる。

第２成分は(a*cos(2π\(\frac{j}{n}\))+b*sin(2π\(\frac{j}{n}\)))sin(2π\(\frac{j}{n}\))
=a*cos(2π\(\frac{j}{n}\))sin(2π\(\frac{j}{n}\))+b*sin(2π\(\frac{j}{n}\)))sin(2π\(\frac{j}{n}\))
=a*sin(4π\(\frac{j}{n}\))/2+b*(1-cos(4π\(\frac{j}{n}\)))/2
これをj=1...nでたすと、n\(\frac{b}{2}\)となる。

よって、Y=Σ(x,ej)ej=n\(\frac{x}{2}\)となる。

最後のsin(4π\(\frac{j}{n}\))=0 cos(4π\(\frac{j}{n}\))=1 (n=1・２・・・n)
はどう説明したらいいのでしょうか？

最後のやつに（n=1・２・・n）とありますが
（j=１・２・・・ｎ）でした