\(\int_{α}^{β} (x－α)^{m}・(β－ｘ)^{n} dx \)
＝\(\frac{m!n!}{(m+n+1)!}・（β－α)^{m+n+1} \)
を以前に習ったことがあり、これに
（ｘ－γ）も加わった式も見たような気がします。
ということは、
このような公式を一般化したものがあるのではないか
と思い、質問した次第です。
\(\int_{α}^{β} (x－α)^{a}・(ｘ−β)^{b}・(ｘ−γ)^{c}・・・・ dx \)
を簡単にした式はあるのでしょうか？
積分公式の証明$$I(m, n) = \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{m}(\beta-x)^{n} \, dx$$とおき、部分積分を用いて証明します。
1. 部分積分の適用\((β-x)^{n}\) を微分側、\((x-α)^{m}\) を積分側に設定して部分積分を行います。$$\begin{aligned} I(m, n) &= \left[ \frac{(x-\alpha)^{m+1}}{m+1} (\beta-x)^{n} \right]_{\alpha}^{\beta} - \int_{\alpha}^{\beta} \frac{(x-\alpha)^{m+1}}{m+1} \cdot \left\{ -n(\beta-x)^{n-1} \right\} \, dx \\ &= 0 + \frac{n}{m+1} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{m+1} (\beta-x)^{n-1} \, dx \\ &= \frac{n}{m+1} I(m+1, n-1) \end{aligned}$$
2. 漸化式の繰り返しこの操作を n 回繰り返すと、\((β-x)\) の指数が 0 になるまで計算を進めることができます。$$\begin{aligned} I(m, n) &= \frac{n}{m+1} \cdot I(m+1, n-1) \\ &= \frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} \cdot I(m+2, n-2) \\ &\vdots \\ &= \frac{n(n-1)\cdots 1}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n)} I(m+n, 0) \end{aligned}$$
3. I(m+n, 0) の計算最後に残った積分を計算します。$$\begin{aligned} I(m+n, 0) &= \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{m+n} \, dx \\ &= \left[ \frac{(x-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1} \end{aligned}$$
4. 結論これらをまとめると以下のようになります。$$I(m, n) = \frac{n!}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n)(m+n+1)} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$$分母と分子に m! をかけることで、階乗の形に整理されます。$$I(m, n) = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$$
以上より、求められる。
これの一般化は、ベータ関数の方にでているんじゃないかと
同僚は言っているのだが……
ありません。よく考えてください。
積分区間は \(\alpha\) から \(\beta\) なのに、
それと関係のない \(\gamma\) が入ってくれば
きれいになるはずがありません。