（Ⅰ）

\((2xy-\cos x)dx+(x^{^{2}}-1)dy=0\)

微分方程式の完全形の公式より、

公式――――――――――――――――――

Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＝０で、 \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) ならば、

\(\int Pdx+\int (Q-\frac{\partial }{\partial y}\int Pdx)dy=C\)

――――――――――――――――――――

\(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(2xy-\cos x)=2x\)

\(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{^{2}}-1)=2x\)

\(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) より、公式に当てはめて、

\(\int Pdx=\int (2xy-\cos x)dx=x^{^{2}}y-\sin x\)

\(\frac{\partial }{\partial y}\int Pdx=\frac{\partial }{\partial y}(x^{^{2}}y-\sin x)=x^{^{2}}\)

\(\int (Q-\frac{\partial }{\partial y}\int Pdx)dy=\int (x^{^{2}}-1-x^{^{2}})dy=-y\)

したがって、

\(x^{^{2}}y-\sin x+(-y)+C=C\)

\((x^{^{2}}-1)y-\sin x=C\) ………（答）

（Ⅱ）

\(xy(xdy+ydx)=(1+y)dy\)

\(xy^{^{2}}dx+(x^{^{2}}y-1-y)dy=0\)

完全形だから、

\(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(xy^{^{2}})=2xy\)

\(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{^{2}}y-1-y)=2xy\)

\(\int Pdx=\int xy^{^{2}}dx=\frac{x^{^{2}}y^{^{2}}}{2}\)

\(\frac{\partial }{\partial y}\int Pdx=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{x^{^{2}}y^{^{2}}}{2})=x^{^{2}}y\)

\(\int (Q-\frac{\partial }{\partial y}\int Pdx)dy=\int (x^{^{2}}y-1-y-x^{^{2}}y)dy=-y-\frac{y^{^{2}}}{2}\)

したがって、

\(\frac{x^{^{2}}y^{^{2}}}{2}+(-y-\frac{y^{^{2}}}{2})+C=C\)

\(\frac{y^{^{2}}}{2}(x^{^{2}}-1)-y=C\) ………（答）