\(\frac{dy}{dx}+y\cot x=\sec ^{^{2}}x\)

公式――――――――――――――――――

１階線形微分方程式 \(\frac{dy}{dx}+Py=Q\) ならば、

\(y=e^{^{-\int Pdx}}(\int Qe^{^{\int Pdx}}dx+C)\)

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Ｐ＝cotｘより、
\(\int Pdx=\int \cot xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\log \vert \sin x\vert +C\)

\(e^{^{\int Pdx}}=e^{^{\log \vert \sin x\vert +C}}=C\sin x\)

\(\int Qe^{^{\int Pdx}}dx=\int \sec ^{^{2}}x\cdot C\sin xdx=C\int \frac{\sin x}{\cos ^{^{2}}x}dx=C\int \frac{-1}{t^{^{2}}}dt=\frac{C}{t}=\frac{C}{\cos x}\)

したがって、

\(y=\frac{C}{\sin x}(\frac{C}{\cos x}+C)=\frac{1}{\sin x}(\frac{C_{_{1}}}{\cos x}+C_{_{2}})\) ………（答）