円 \(x^{^{2}}+y^{^{2}}=9\) の上の点（ａ，ｂ）とすると、

\(a^{^{2}}+b^{^{2}}=9\) ………①

円の接線ａｘ＋ｂｙ＝９が点（５，２）を通るから、

５ａ＋２ｂ＝９………②

①と②を連立して、

\(a=\frac{45\pm 12\sqrt{5}}{29}\) 、 \(b=\frac{18\mp 30\sqrt{5}}{29}\)

交点ＢとＣを通る直線は、

\(y-\frac{18-30\sqrt{5}}{29}=\frac{\frac{18+30\sqrt{5}}{29}-\frac{18-30\sqrt{5}}{29}}{\frac{45-12\sqrt{5}}{29}-\frac{45+12\sqrt{5}}{29}}(x-\frac{45+12\sqrt{5}}{29})\)

計算して、

\(y=-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}\)

点ＢとＣを通る円は、次の方程式となる。

\((x^{^{2}}+y^{^{2}}-9)+k(5x+2y-9)=0\)

点（５，２）を通るから、代入して、

（２５＋４－９）＋ｋ（２５＋４－９）＝０

２０＋２０ｋ＝０

∴ｋ＝－１

\((x^{^{2}}+y^{^{2}}-9)-(5x+2y-9)=0\)

\(x^{^{2}}+y^{^{2}}-5x-2y=0\)

\((x-\frac{5}{2})^{^{2}}+(y-1)^{^{2}}=\frac{25}{4}+1=\frac{29}{4}\)

したがって、

中心（５／２，１）半径\(\sqrt{\quad}\)２９／２の円………（答）

(2)の式を出した後のところですが、
B(p,q), C(r,s) とおくと 5p+2q=9, 5r+2s=9 であり、
これは B, C が直線 5x+2y=9 上にあることを示している。
とやるとすこし楽かもしれません。