複素関数論に出ていることを同僚の三野先生（今年度で定年
退職。残念！）から聞きました。私も初めての計算です。

ガウス平面上の点Ａから点Ｂにいたる曲線Ｃの上に存在する
複素関数ｆ（ｚ）ただしｚ＝ｘ＋ｙｉ∈Ｃ
は、線積分∫_cｆ（ｚ）ｄｚが可能である。

例えば、曲線Ｃを下図のようにとり、複素関数を
ｆ（ｚ）＝ｚ²とすると、

Ａ（０）Ｂ（１＋ｉ）より、直線ＡＢ上の点はｘ＝ｙより、
ｚ＝ｘ＋ｙｉ＝ｘ＋ｘｉ＝（１＋ｉ）ｘ
ｄｚ＝（１＋ｉ）ｄｘ
ｆ（ｚ）＝ｚ²
　　　　＝（ｘ＋ｙｉ）²
　　　　＝ｘ²＋２ｘｙｉ－ｙ²
　　　　＝（ｘ²－ｙ²）＋２ｘｙｉ
　　　　＝０＋２ｘ²ｉ
　　　　＝２ｘ²ｉ
したがって
　1+i　　　　　　　1+i
∫　ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫　２ｘ²ｉ（１＋ｉ）ｄｘ
　0　　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　　　　　　　1+i
　　　　　　　　＝２ｉ（１＋ｉ）∫　ｘ²ｄｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1+i
　　　　　　　　＝２ｉ（１＋ｉ）【ｘ³／３】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0
　　　　　　　　＝２ｉ（１＋ｉ）（１＋ｉ）³／３
　　　　　　　　＝２ｉ（１＋ｉ）⁴／３
　　　　　　　　＝－８ｉ／３……（答）