y=arcsinh(x)とすると、sinh(y)=x
d\(\frac{x}{d}\)y=cosh(y)だから、
d\(\frac{y}{d}\)x=\(\frac{1}{c}\)osh(y)=1/\(\sqrt{\quad}\)(1+sin\(h^{2}\)(y))=1/\(\sqrt{\quad}\)(1+\(x^{2}\))
\(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)=-x/(1+\(x^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))
\(d^{3}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{3}\)=(\(\frac{3}{2}\))(1+\(x^{2}\))^(-\(\frac{5}{2}\))x-(1+\(x^{2}\))^(-\(\frac{3}{2}\))
となる。
x=0でテーラー展開する。
x=0,y=0,y'=1/\(\sqrt{\quad}\)2,y''=0,y'''=-2^(-\(\frac{3}{2}\))

よって、(1/\(\sqrt{\quad}\)2)x-2^(-\(\frac{3}{2}\))\(x^{3}\)/(3!)となる。