任意の数ｋに対して、方程式\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1+k(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4)=0
が成り立つのは、\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1＝０かつ\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4＝０のときだから
２円Ｃ１とＣ２の連立になる。
つまり、交点を通ることになる。
ｋ＝－１のときのみ直線となる。

何度もすみません。
〈１２２５〉についてまだわからないことがあるのですが…

\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1+k(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4)=0
と置いていますが、
k(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1)+\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4=0
でもよいのでしょうか。また、
（\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1）+(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4)=0
でもよい様な気がしますし、
k(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1)+m(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4）=0
でもよい様な気がします。なぜkを二番目の式の前にくっつけて連立
しているのでしょうか。
また、ｋ＝－１のときなぜ直線と分かるのでしょうか…

k(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1)+\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4=0でも結構です。

（\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1）+(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4)=0では、２交点を通る円が１つしか
表示できませんので、たくさんあることを表すにはふさわしくありません。

k(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1)+m(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4）=0でも結構ですが、ｍ／ｋ＝ｎとすると、
文字ｎの１つにすることができます。

習慣として２番目にｋをつけているようです。

ｋ＝－１のとき、
　　\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4x-2y+1+（－１）(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-4)=0
　　ｘ^2とｙ^2が消えて、－４ｘ－２ｙ＋１＋４＝０
　　∴４ｘ＋２ｙ－５＝０と言う直線になる。この直線は、２交点を
　　　通る。