連立方程式
┌２ｘ＋３ｙ＝４
└５ｘ＋６ｙ＝７
を、行列を使って表現すると、
┌２　３┐┌ｘ┐＿┌４┐
└５　６┘└ｙ┘￣└７┘
となる。
┌２　３┐
└５　６┘を行列Ａとすると、逆行列Ａ^-1は
掃き出し法で、連立方程式の解を求めると同時に求めること
が出来る。
　│ｘ　ｙ│定数項│逆行列　　│操作
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①│２　３｜　４　｜　１　　０｜
②｜５　６｜　７　｜　０　　１｜
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③│２　３｜　４　｜　１　　０｜
④│１　０｜－１　｜－２　　１｜②－①×２
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⑤│０　３｜　６　｜　５　－２｜③－④×２
⑥│１　０｜－１　｜－２　　１｜
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⑦│０　１｜　２　｜\(\frac{5}{3}\)　－\(\frac{2}{3}\)｜⑤÷３
⑧│１　０｜－１　｜－２　　１｜
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⑨│１　０｜－１　｜－２　　１｜⑧
⑩│０　１｜　２　｜\(\frac{5}{3}\)　－\(\frac{2}{3}\)｜⑦
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行列Ａが単位行列Ｉになるのと同時に、単位行列Ｉが逆行列
Ａ^-1となる。逆行列Ａ^-1は
┌－2　　１┐
└\(\frac{5}{3}\)　-\(\frac{2}{3}\)┘
となる。また、連立方程式の解はｘ＝－１，ｙ＝２である。

同様にして、
次の三元一次連立方程式を解いてみて下さい。
┌５ｘ＋６ｙ＋７ｚ＝８
│　ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝４
└９ｘ＋10ｙ－　ｚ＝-2