二階線形微分方程式　ｙ''＋ａｙ'＋ｂｙ＝０の公式として、
①ａ²－４ｂ＞０のとき
　　ｍ²＋ａｍ＋ｂ＝０の２解をα，βとすると
　　ｙ＝Ｃ₁ｅ^αｘ＋Ｃ₂ｅ^βｘ
②ａ²－４ｂ＝０のとき
　　ｍ²＋ａｍ＋ｂ＝０の重解をαとすると
　　ｙ＝ｅ^αｘ（Ｃ₁ｘ＋Ｃ₂）
③ａ²－４ｂ＜０のとき
　　ｍ²＋ａｍ＋ｂ＝０の２虚数解をα\(\pm\)βｉとすると
　　ｙ＝ｅ^αｘ（Ｃ₁sinβｘ＋Ｃ₂cosβｘ）
ということが、微分積分学の参考書に書いてあります。

これを利用して、質問の問題を解いてみましょう。
ａ＝４，ｂ＝－５より、
ａ²－４ｂ＝１６＋２０＝３６＞０
ｍ²＋４ｍ－５＝０の２解をα，βとすると
（ｍ＋５）（ｍ－１）＝０
∴ｍ＝－５，１
α＝－５，β＝１となる。
したがって、
ｙ＝Ｃ₁ｅ^－５ｘ＋Ｃ₂ｅ^ｘ
初期条件のｙ₀＝１（つまり、ｘ＝０のときｙ＝１）
１＝Ｃ₁＋Ｃ₂……（ア）
もう一つの初期条件のｙ₀'＝０（ｘ＝０のとき、ｙ'＝０）
ｙ'＝－５Ｃ₁ｅ^－５ｘ＋Ｃ₂ｅ^ｘ
より、
０＝－５Ｃ₁＋Ｃ₂……（イ）
（ア）（イ）を連立して、
Ｃ₁＝１／６
Ｃ₂＝５／６
したがって、
ｙ＝（ｅ^－５ｘ＋５ｅ^ｘ）／６……（答）