(1) |\cos\theta|＜=1
=> 1-|\cos\theta|>=0
=> |\vec{p}||\vec{q}|(1-|\cos\theta|)>=0
=> |\vec{p}||\vec{q}|>=|\vec{p}||\vec{q}||\cos\theta|
=> |\vec{p}||\vec{q}|>=|\vec{p}\cdot\vec{q}|
=> |\vec{p}|^2|\vec{q}|^2>=(\vec{p}\cdot\vec{q}\()^{2}\).

(2) Max=6, Min=-6.

(1)内積を(p,q)で表す。
実数tに対して、(tp-q,tp-q)≧0
\(t^{2}\)*(p,p)-2t(p,q)+(q,q)≧0　これは、tの２次式で、常に正定値だから、判別式
D≦0 つまり、(p,q\()^{2}\)-(p,p)(q,q)≦0
(p,q\()^{2}\)≦(p,p)(q,q)これを成分で表せば良い。
(2)p=(1,-2,2),q=(x,y,z)とすると、(p,p)=9,(q,q)=4
(1)より(p,q\()^{2}\)≦(p,p)(q,q)
-6=\(\sqrt{\quad}\){(p,p)(q,q)}≦(p,q)≦\(\sqrt{\quad}\){(p,p)(q,q)}=6
答p,qが同じ向きの時最大値６、p,qが逆向きの時最小値-６

（１）
　 →　\(\vec{p}\) ・q = \(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\))\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)+\(z^{2}\)) ×cosθ
= ax+by+cz
　　より
(\(x^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\))(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)+\(z^{2}\))co\(s^{2}\)(θ)=(ax+by+cz\()^{2}\)

　また 0≦co\(s^{2}\)(θ)≦1 であるから

(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\))(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)+\(z^{2}\))≧(ax+by+cz\()^{2}\)

の方がシンプルできれいでは？
横槍すみません。