x=y とすると、
(log x\()^{2}\)=1 より
log x=\(\pm\)1
x=e, \(\frac{1}{e}\)
よって x=y ならば (x,y)=(e,e), (\(\frac{1}{e}\),\(\frac{1}{e}\))
これは、\(x^{y}\)=\(y^{x}\) にも成り立つ。

ところが、\(x^{y}\)=\(y^{x}\) を満たす解は最大で２つしか存在しない。
これを示す。
両辺の対数をとると
log (\(x^{y}\))=log(\(y^{x}\))
x>0, y>0 より
(log x)/x=(log y)/y

ここで、y=(log x)/x のグラフを考えると、
lim(x→+0) y=-∞ , lim(x→∞)y=0 (ロピタル使うと早い）
また
y'=(1-log x)/\(x^{2}\) より、
0＜x＜e で y は単調増加
x>e で y は単調減少

↑y
|
| /＼
| | ＼_________
--+----|----------\(\vec{O}\) | | e x
| |

こんなグラフ。（頻出だからおぼえておくといいです）
グラフから解が２つしかないのは明らか。

よって、\(x^{y}\)=\(y^{x}\) , (log x)(log y)=1 を満たす解は
0＜x＜y ならば存在しない。