両辺の分母が常に正であることから、両辺に
両辺の分母の積を掛けても不等号の向きは。
一見3次式ですが、3次の項は消えてしまいます。
あとは2次不等式の理論を使うだけですね。

左辺-右辺>0 の解が \(\frac{1}{2}\)＜x＜1 となるには、
y=左辺-右辺 のグラフが \(\frac{1}{2}\)＜x＜1 の部分だけ
x軸より上にあればよい。

ということは、x=\(\frac{1}{2}\) と x=1 のとき、y=0 であるから

(\(\frac{1}{2}\)-a)/(\(\frac{1}{4}\)+\(\frac{1}{2}\)+1)-(\(\frac{1}{2}\)-b)/(\(\frac{1}{4}\)-\(\frac{1}{2}\)+1)=0 より 3a-7b=-2
(1-a)/(1+1+1)-(1-b)/(1-1+1)=0 より a-3b=-2
これを解くと、a=4, b=2 となる。

あとは、y=(x-4)/(\(x^{2}\)+x+1)-(x-2)/(\(x^{2}\)-x+1) が
\(\frac{1}{2}\)＜x＜1 で y>0 となることを示すだけ。
y={ (x-4)(\(x^{2}\)-x+1)-(x-2)(\(x^{2}\)+x+1) } / { (\(x^{2}\)+x+1)(\(x^{2}\)-x+1) }
={ -2(x-\(\frac{1}{2}\))(x-1) } / { (\(x^{2}\)+x+1)(\(x^{2}\)-x+1) }

\(x^{2}\)+x+1 と \(x^{2}\)-x+1　は常に正であるから、
( \(x^{2}\)-x+1=(x-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+\(\frac{3}{4}\) >0 )
\(\frac{1}{2}\)＜x＜1 で y>0 となる。