(1) 第 n 月の月はじめのネズミの匹数を \(a_{n}\) と書くことにすると、
\(a_{0}\) = 48, a_{n+1} = max{3\(a_{n}\) - 7x, 0} (n>=0)
となって、とりあえず \(a_{n}\) > 0 の場合のみを考慮することにすると、
\(a_{n}\) = \(3^{n}\)(48-(\(\frac{7}{2}\))x) + (\(\frac{7}{2}\))x
となるので、48-(\(\frac{7}{2}\))x ＜= 0 が必要なことがわかるでしょう。
それで上の不等式を満たす最小の x = 14 で実験してみると、
\(a_{n}\) = max{49 - \(3^{n}\), 0}
ですから、
\(a_{0}\), \(a_{1}\), \(a_{2}\), \(a_{3}\) > 0, \(a_{4}\) = 0 がわかるでしょう。
だから答えは x = 14, (第何月目の月末) = 3 です。

(2)
仮に両端を a と固定します。
このときに、題意に示されたような文字列の総数を \(a_{n}\) とおくと、
\(a_{3}\) = 4, \(a_{4}\) = 12 であることは簡単に調べられます。
さて、n>=3 のとき、n+2 文字の文字列というのは、
(i) n+1 文字の文字列から最後の a を取り除いて、
そこにとなりの文字と異なり、a とも異なる文字を付加して、
その上で末尾に a を付加する。
もしくは、
(ii) n 文字の文字列に b, c, d, e を付加して、
その上で末尾に a を付加する。
かのいずれかですべてが構成されますから、
a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4\(a_{n}\) (n>=3).
これを解けば、
\(a_{n}\) = (4^{n-1}-4(-1\()^{n}\))/5
となりますが、これはあくまでも両端が a の場合に限ったもので
あるので、これを 5 倍して、結局総数は
4^{n-1}-4(-1\()^{n}\)
となります。