命題「ｐならばｑ（ｐ→ｑ）」が成り立つとき、ｐをｑであるための十分条件
と言います。また、ｑをｐであるための必要条件と言います。
集合で書くと、Ｐ⊂Ｑとなります。
同時にＱ⊂Ｐならば、命題「ｑ→ｐ」も成り立つので、このとき「ｐ←→ｑ」
より、ｐとｑをそれぞれ必要十分条件という。
集合では、Ｐ＝Ｑと重なる。

証明に関しては、何を指すのかわからないので、具体例を出してください。